【等差数列和等比数列的通项公式】在数学中，数列是一个重要的概念，尤其在高中阶段，等差数列和等比数列是学习的重点内容。它们分别具有不同的规律性和应用价值。本文将对这两种数列的通项公式进行总结，并通过表格形式直观展示其特点。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用 $ d $ 表示。
通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数（$ n \in \mathbb{N}^ $）。
特点：
- 每一项都是前一项加上公差；
- 数列增长或减少的速度是恒定的；
- 图像是一条直线。
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用 $ r $ 表示。
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ r $ 是公比；
- $ n $ 是项数（$ n \in \mathbb{N}^ $）。
特点：
- 每一项都是前一项乘以公比；
- 数列的增长或衰减速度是指数级的；
- 图像是一条指数曲线。
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 后项与前项的差为常数 | 后项与前项的比为常数 |
| 公差/公比 | 公差 $ d $ | 公比 $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 增长方式 | 线性增长 | 指数增长 |
| 示例 | 2, 5, 8, 11, 14,...（d=3） | 3, 6, 12, 24, 48,...（r=2） |
| 应用场景 | 均匀变化问题（如时间、距离） | 复利计算、人口增长等 |
四、小结
等差数列和等比数列是两种基本的数列类型，它们在实际生活中有广泛的应用。理解它们的通项公式有助于我们更好地分析和预测数列的变化趋势。掌握这些公式不仅有助于考试，也对解决实际问题有重要帮助。